1. 為什么“集合與函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)的第一道分水嶺如果你問(wèn)一個(gè)剛帶完高三畢業(yè)班的數(shù)學(xué)老師高中數(shù)學(xué)哪一章最容易讓學(xué)生“翻車”十有八九會(huì)告訴你不是導(dǎo)數(shù)不是圓錐曲線而是開(kāi)學(xué)第一個(gè)月學(xué)的集合與函數(shù)。這聽(tīng)起來(lái)有點(diǎn)反直覺(jué)——集合不就是一堆東西放一起嗎函數(shù)不就是y跟著x變嗎初中就接觸過(guò)的東西怎么就成了分水嶺問(wèn)題恰恰出在這里。初中數(shù)學(xué)的思維方式是“算”給你一個(gè)式子你算出結(jié)果就行。而集合與函數(shù)這一章第一次要求學(xué)生從“算”切換到“看”——看關(guān)系、看結(jié)構(gòu)、看變化趨勢(shì)。這個(gè)思維切換有人一周就適應(yīng)了有人半個(gè)學(xué)期都沒(méi)緩過(guò)來(lái)。我?guī)н^(guò)的一個(gè)學(xué)生初中數(shù)學(xué)常年110分以上滿分120高一第一次月考數(shù)學(xué)只考了67分卷子拿過(guò)來(lái)一看集合的運(yùn)算全對(duì)函數(shù)定義域和值域的題幾乎全軍覆沒(méi)。他不是不會(huì)算是根本沒(méi)理解“定義域”這三個(gè)字在說(shuō)什么。所以這篇內(nèi)容我想把集合與函數(shù)這一章的核心邏輯、常見(jiàn)陷阱、以及那些課本上不會(huì)明說(shuō)但考試一定會(huì)考的東西從頭到尾捋一遍。不管你是正在學(xué)這一章的學(xué)生還是準(zhǔn)備給孩子輔導(dǎo)的家長(zhǎng)或者剛?cè)肼殠Ц咭坏哪贻p老師都能從中找到可以直接用的東西。我會(huì)盡量用大白話把每個(gè)概念講透該給的例子給足該拆的步驟拆細(xì)讓你看完就能上手做題、講題。2. 集合看似簡(jiǎn)單但坑都在細(xì)節(jié)里2.1 集合到底是什么——從“一堆東西”到“一個(gè)整體”課本上對(duì)集合的定義是“一些確定的、不同的對(duì)象匯集在一起形成的整體”。這句話每個(gè)字都認(rèn)識(shí)但真正理解的人不多。關(guān)鍵在“確定的”和“不同的”這兩個(gè)詞?！按_定的”意思是給你一個(gè)對(duì)象你能明確判斷它屬不屬于這個(gè)集合。比如“所有高個(gè)子的人”就不是集合因?yàn)槎喔咚愀?米81米75說(shuō)不清楚。但“所有身高超過(guò)1米75的人”就是集合因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)明確?！安煌摹币馑际羌侠锏脑夭荒苤貜?fù){1, 1, 2}和{1, 2}是同一個(gè)集合。我一般會(huì)跟學(xué)生打這樣一個(gè)比方集合就像一個(gè)班級(jí)的花名冊(cè)?；麅?cè)上每個(gè)名字對(duì)應(yīng)一個(gè)學(xué)生不會(huì)有同一個(gè)學(xué)生出現(xiàn)兩次互異性也不會(huì)有一個(gè)名字對(duì)應(yīng)“可能是張三也可能是李四”確定性。花名冊(cè)上名字的排列順序無(wú)所謂無(wú)序性但花名冊(cè)上有沒(méi)有這個(gè)名字是明確的。這三個(gè)性質(zhì)——確定性、互異性、無(wú)序性——就是集合的“三大鐵律”?？荚?yán)镪P(guān)于集合概念的題90%都是在考這三個(gè)性質(zhì)尤其是互異性。舉個(gè)經(jīng)典考題已知集合A {a2, (a1)2, a23a3}且1∈A求實(shí)數(shù)a的值。這道題看起來(lái)簡(jiǎn)單但很多學(xué)生算出a0或a-1或a-2就結(jié)束了忘了檢驗(yàn)互異性。代入a0集合變成{2, 1, 3}沒(méi)問(wèn)題代入a-1集合變成{1, 0, 1}有兩個(gè)1違反互異性舍去代入a-2集合變成{0, 1, 1}同樣違反互異性舍去。所以正確答案只有a0。這道題如果忘了檢驗(yàn)就會(huì)多出兩個(gè)錯(cuò)誤答案。注意凡是題目中出現(xiàn)了用字母表示的集合元素算出結(jié)果后一定要代回去檢驗(yàn)互異性。這是高一第一次月考的必考陷阱沒(méi)有例外。2.2 集合的表示方法——什么時(shí)候用列舉什么時(shí)候用描述集合的表示方法主要有兩種列舉法和描述法。列舉法就是把元素一個(gè)個(gè)寫出來(lái)比如{1, 2, 3}描述法就是用條件來(lái)表示比如{x | x 0}。選哪種方法取決于集合里元素的個(gè)數(shù)和特征。元素少且明確用列舉法元素多或者有規(guī)律用描述法。但實(shí)際操作中很多學(xué)生搞不清楚描述法里豎線前面那個(gè)字母代表什么。{x | x 0}這個(gè)寫法豎線前面的x表示“這個(gè)集合里的元素長(zhǎng)什么樣”豎線后面表示“這些元素滿足什么條件”。所以{x | x 0}讀作“所有大于0的x組成的集合”。如果寫成{y | y 0}意思完全一樣只是換了個(gè)字母。但有一種情況容易出錯(cuò){(x, y) | y x2}。這里豎線前面是(x, y)表示集合里的元素是“點(diǎn)”不是數(shù)。這個(gè)集合是拋物線y x2上所有點(diǎn)組成的集合。如果寫成{x | y x2}那就變成了“所有滿足y x2的x”也就是全體實(shí)數(shù)因?yàn)槿魏螌?shí)數(shù)x都能找到一個(gè)對(duì)應(yīng)的y意思完全不同。我見(jiàn)過(guò)一道題設(shè)集合A {(x, y) | x y 1}B {y | y x2}求A∩B。很多學(xué)生直接寫“無(wú)解”或者“空集”因?yàn)樗麄冇X(jué)得一個(gè)是點(diǎn)集一個(gè)是數(shù)集沒(méi)法交集。但實(shí)際上A是直線上的點(diǎn)集B是函數(shù)的值域[0, ∞)兩者確實(shí)沒(méi)有公共元素A∩B ?。這道題考的就是你能不能分清“點(diǎn)集”和“數(shù)集”。實(shí)操心得看到描述法先看豎線前面是什么。如果是單個(gè)字母就是數(shù)集如果是(x, y)就是點(diǎn)集。這個(gè)判斷只需要一秒鐘但能幫你避開(kāi)很多坑。2.3 集合間的運(yùn)算——交、并、補(bǔ)的邏輯與易錯(cuò)點(diǎn)集合的三種基本運(yùn)算是交集∩、并集∪和補(bǔ)集?。交集是“兩個(gè)集合都有的元素”并集是“兩個(gè)集合所有的元素合在一起”補(bǔ)集是“全集里去掉某個(gè)集合剩下的元素”。這三種運(yùn)算本身不難難的是和不等式結(jié)合起來(lái)考。比如已知A {x | -1 x 3}B {x | x ≥ 2}求A∩B。畫數(shù)軸是最穩(wěn)妥的方法A是-1到3之間的開(kāi)區(qū)間B是2到正無(wú)窮的左閉區(qū)間兩者重疊的部分是[2, 3)。注意A的右端點(diǎn)是3開(kāi)B的左端點(diǎn)是2閉所以交集是左閉右開(kāi)。這里最容易錯(cuò)的是端點(diǎn)的開(kāi)閉。我總結(jié)了一個(gè)口訣“交集看嚴(yán)格并集看寬松。”意思是求交集時(shí)端點(diǎn)必須同時(shí)滿足兩個(gè)集合的條件所以只要有一個(gè)是開(kāi)的結(jié)果就是開(kāi)的求并集時(shí)端點(diǎn)只要滿足其中一個(gè)集合的條件就行所以只要有一個(gè)是閉的結(jié)果就是閉的。補(bǔ)集運(yùn)算有一個(gè)常見(jiàn)陷阱全集變了補(bǔ)集就變了。比如??A和??AR是實(shí)數(shù)集Z是整數(shù)集是完全不同的兩個(gè)集合。題目里如果沒(méi)有明確全集是什么默認(rèn)是實(shí)數(shù)集R但有時(shí)候題目會(huì)指定全集為整數(shù)集Z或自然數(shù)集N這時(shí)候就要特別小心。還有一個(gè)高頻考點(diǎn)是“空集”?？占侨魏渭系淖蛹@個(gè)性質(zhì)在解含參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到。比如已知A {x | 1 x 2}B {x | x a}若A ? B求a的取值范圍。很多學(xué)生直接寫a ≥ 2就結(jié)束了但忘了考慮B ?的情況。當(dāng)a ≤ 1時(shí)B是空集空集是任何集合的子集所以也滿足條件。正確答案是a ≥ 2或a ≤ 1也就是a ≤ 1或a ≥ 2。注意凡是題目中出現(xiàn)“A ? B”且B含有參數(shù)一定要分B ?和B ≠ ?兩種情況討論。這是高一期中考試的高頻失分點(diǎn)。3. 函數(shù)從“變化關(guān)系”到“對(duì)應(yīng)規(guī)則”的思維躍遷3.1 函數(shù)的本質(zhì)——不是公式是“對(duì)應(yīng)規(guī)則”初中對(duì)函數(shù)的定義是“在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y如果給定一個(gè)x值相應(yīng)地就確定了一個(gè)y值那么y是x的函數(shù)”。這個(gè)定義強(qiáng)調(diào)的是“變化過(guò)程”但高中對(duì)函數(shù)的定義更抽象設(shè)A、B是非空數(shù)集如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)那么就稱fA→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。這個(gè)定義的三個(gè)關(guān)鍵詞是非空、任意、唯一。“非空”是說(shuō)A和B都不能是空集“任意”是說(shuō)A中的每一個(gè)x都要有對(duì)應(yīng)的y“唯一”是說(shuō)一個(gè)x只能對(duì)應(yīng)一個(gè)y不能對(duì)應(yīng)兩個(gè)。很多學(xué)生不理解“唯一”的重要性。我舉個(gè)例子y2 x這個(gè)關(guān)系里給定x 4y可以是2也可以是-2所以y不是x的函數(shù)。但反過(guò)來(lái)y x2給定x 2y只能是4所以y是x的函數(shù)。判斷一個(gè)關(guān)系是不是函數(shù)就看“一個(gè)x能不能對(duì)應(yīng)多個(gè)y”。這里有一個(gè)容易混淆的點(diǎn)函數(shù)允許“多個(gè)x對(duì)應(yīng)同一個(gè)y”。比如y x2x 2和x -2都對(duì)應(yīng)y 4這是允許的。函數(shù)只限制“一個(gè)x不能對(duì)應(yīng)多個(gè)y”不限制“多個(gè)x對(duì)應(yīng)同一個(gè)y”。實(shí)操心得判斷一個(gè)圖像是不是函數(shù)圖像用“豎線檢驗(yàn)法”——如果任何一條豎線與圖像最多只有一個(gè)交點(diǎn)就是函數(shù)圖像。這個(gè)方法比背定義快得多考試時(shí)可以直接用。3.2 定義域和值域——函數(shù)的“邊界”與“范圍”定義域是函數(shù)中自變量x的取值范圍值域是因變量y的取值范圍。這兩個(gè)概念看起來(lái)簡(jiǎn)單但實(shí)際做題時(shí)定義域往往是失分重災(zāi)區(qū)。求定義域的常見(jiàn)限制條件有四種分母不能為零、偶次根號(hào)下不能為負(fù)、對(duì)數(shù)的真數(shù)必須大于零、零的零次方無(wú)意義。這四種情況可能同時(shí)出現(xiàn)需要取交集。比如求f(x) √(x-1) / (x-3) lg(5-x)的定義域。需要同時(shí)滿足x-1 ≥ 0根號(hào)下非負(fù)、x-3 ≠ 0分母不為零、5-x 0對(duì)數(shù)真數(shù)為正。解出來(lái)是x ≥ 1且x ≠ 3且x 5即[1, 3) ∪ (3, 5)。值域的求法比定義域復(fù)雜得多常見(jiàn)方法有觀察法、配方法、換元法、單調(diào)性法、基本不等式法、判別式法。不同形式的函數(shù)要用不同的方法選錯(cuò)方法可能算半天算不出來(lái)。比如求y x2 - 2x 3的值域用配方法y (x-1)2 2因?yàn)?x-1)2 ≥ 0所以y ≥ 2值域是[2, ∞)。但如果限定x ∈ [0, 3]那就要看對(duì)稱軸x 1在不在區(qū)間內(nèi)。x 1在[0, 3]內(nèi)所以最小值是x 1時(shí)的2最大值是x 3時(shí)的6值域是[2, 6]。注意求值域時(shí)如果定義域有限制一定要先看對(duì)稱軸在不在定義域內(nèi)再?zèng)Q定最值在哪里取。這是二次函數(shù)值域問(wèn)題的核心。3.3 函數(shù)的表示方法——解析法、圖像法、列表法函數(shù)的表示方法有三種解析法用公式表示、圖像法用圖形表示、列表法用表格表示。這三種方法各有優(yōu)劣考試中經(jīng)常需要互相轉(zhuǎn)換。解析法最精確但不夠直觀。比如f(x) x3 - 3x你能看出它的增減趨勢(shì)嗎不太容易。但畫出圖像就一目了然在x -1處有極大值在x 1處有極小值。圖像法最直觀但不夠精確。從圖像上讀出的值往往是近似值而且圖像畫得不準(zhǔn)會(huì)誤導(dǎo)判斷。所以考試中經(jīng)常要求“先畫圖再計(jì)算”用圖像輔助思考用計(jì)算得到精確結(jié)果。列表法在考試中不常用但在實(shí)際生活中很常見(jiàn)。比如出租車計(jì)價(jià)表、快遞收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)都是列表法表示的函數(shù)。三種方法之間的轉(zhuǎn)換是高頻考點(diǎn)。給了解析式要會(huì)畫圖像給了圖像要會(huì)寫解析式分段函數(shù)尤其常見(jiàn)給了表格要會(huì)找規(guī)律。其中分段函數(shù)的圖像和解析式互化是難點(diǎn)。比如一個(gè)分段函數(shù)當(dāng)x 0時(shí)f(x) x 1當(dāng)x ≥ 0時(shí)f(x) x2。畫圖像時(shí)x 0的部分是一條射線不含端點(diǎn)x ≥ 0的部分是一條拋物線含端點(diǎn)。寫解析式時(shí)要注意每段的定義域不能重疊也不能遺漏。實(shí)操心得畫分段函數(shù)圖像時(shí)先分區(qū)間畫再檢查端點(diǎn)。端點(diǎn)的實(shí)心/空心取決于該點(diǎn)屬于哪一段。如果兩段在端點(diǎn)處都有定義要檢查函數(shù)值是否相等不相等就是間斷點(diǎn)。4. 函數(shù)的四大性質(zhì)——單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性4.1 單調(diào)性——函數(shù)圖像的“上坡”與“下坡”單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一描述的是函數(shù)值隨自變量增大而增大增函數(shù)或減小減函數(shù)的趨勢(shì)。判斷單調(diào)性的方法有兩種定義法和導(dǎo)數(shù)法。高一階段主要用定義法也就是“取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論”五步。具體操作設(shè)x? x?計(jì)算f(x?) - f(x?)然后因式分解或通分判斷符號(hào)。如果f(x?) - f(x?) 0就是增函數(shù)如果f(x?) - f(x?) 0就是減函數(shù)。舉個(gè)例子證明f(x) x 1/x在(1, ∞)上是增函數(shù)。設(shè)1 x? x?則f(x?) - f(x?) (x? 1/x?) - (x? 1/x?) (x? - x?) (1/x? - 1/x?) (x? - x?) (x? - x?)/(x?x?) (x? - x?)(1 - 1/(x?x?))。因?yàn)閤? x?所以x? - x? 0因?yàn)閤?, x? 1所以x?x? 11/(x?x?) 11 - 1/(x?x?) 0。所以f(x?) - f(x?) 0f(x?) f(x?)是增函數(shù)。這個(gè)過(guò)程中最關(guān)鍵的是“變形”這一步。很多學(xué)生卡在因式分解上不知道怎么把f(x?) - f(x?)變成可以判斷符號(hào)的形式。我的建議是先通分再提取公因式(x? - x?)剩下的部分單獨(dú)判斷符號(hào)。注意單調(diào)性必須在定義域內(nèi)討論。比如f(x) 1/x在(-∞, 0)和(0, ∞)上都是減函數(shù)但不能說(shuō)在(-∞, 0) ∪ (0, ∞)上是減函數(shù)。因?yàn)槿? -1, x? 1f(x?) -1 f(x?) 1不符合減函數(shù)的定義。4.2 奇偶性——函數(shù)圖像的“對(duì)稱美”奇偶性描述的是函數(shù)圖像的對(duì)稱性。奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱滿足f(-x) -f(x)偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱滿足f(-x) f(x)。判斷奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如果定義域是[-2, 3]那就不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)直接下結(jié)論就行不用再算f(-x)。常見(jiàn)的奇函數(shù)有y x, y x3, y 1/x, y sin x。常見(jiàn)的偶函數(shù)有y x2, y |x|, y cos x。常見(jiàn)的既奇又偶的函數(shù)只有一個(gè)f(x) 0定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。奇偶性的一個(gè)重要應(yīng)用是“知一半求另一半”。如果已知奇函數(shù)在x 0時(shí)的解析式可以利用f(-x) -f(x)求出x 0時(shí)的解析式。比如f(x)是奇函數(shù)當(dāng)x 0時(shí)f(x) x2 x求x 0時(shí)的解析式。設(shè)x 0則-x 0f(-x) (-x)2 (-x) x2 - x。因?yàn)閒是奇函數(shù)f(x) -f(-x) -(x2 - x) -x2 x。所以x 0時(shí)f(x) -x2 x。實(shí)操心得利用奇偶性求解析式時(shí)注意最后要寫成分段函數(shù)的形式并且要說(shuō)明f(0)的值如果定義域包含0奇函數(shù)在0處的值一定是0。4.3 周期性與對(duì)稱性——函數(shù)的“重復(fù)”與“鏡像”周期性描述的是函數(shù)值按一定規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)的性質(zhì)。如果存在非零常數(shù)T使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都有f(x T) f(x)那么T就是函數(shù)的一個(gè)周期。周期性的常見(jiàn)形式有f(x a) f(x)周期為af(x a) -f(x)周期為2af(x a) 1/f(x)周期為2a。這些變形在考試中經(jīng)常出現(xiàn)需要熟練掌握。對(duì)稱性分為軸對(duì)稱和中心對(duì)稱。如果f(a x) f(a - x)那么函數(shù)圖像關(guān)于直線x a對(duì)稱如果f(a x) -f(a - x)那么函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)(a, 0)中心對(duì)稱。周期性和對(duì)稱性經(jīng)常結(jié)合起來(lái)考。比如已知f(x)是偶函數(shù)且f(x 2) -f(x)求f(x)的周期。由f(x 2) -f(x)得f(x 4) -f(x 2) f(x)所以周期是4。又因?yàn)閒是偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱結(jié)合周期為4可以推出圖像還關(guān)于x 2對(duì)稱。注意周期性和對(duì)稱性的推導(dǎo)題關(guān)鍵是“反復(fù)代入”。把已知等式中的x替換成x a得到新的等式再和原等式聯(lián)立消去中間項(xiàng)就能得到周期。5. 從集合到函數(shù)——那些課本上不會(huì)明說(shuō)的銜接邏輯5.1 定義域優(yōu)先原則——為什么所有函數(shù)題都要先看定義域我在帶學(xué)生的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象很多學(xué)生拿到函數(shù)題第一反應(yīng)是“這個(gè)函數(shù)長(zhǎng)什么樣”而不是“這個(gè)函數(shù)的x能取哪些值”。這個(gè)習(xí)慣在初中沒(méi)問(wèn)題因?yàn)槌踔泻瘮?shù)的定義域默認(rèn)是全體實(shí)數(shù)。但高中不一樣定義域可能有限制而且這些限制會(huì)直接影響后續(xù)的所有計(jì)算。比如求函數(shù)f(x) x2 - 2x在[0, 3]上的值域。如果不看定義域直接配方得f(x) (x-1)2 - 1最小值是-1那就錯(cuò)了。因?yàn)閤 1在[0, 3]內(nèi)所以最小值確實(shí)是-1但最大值不是正無(wú)窮而是x 3時(shí)的3。所以值域是[-1, 3]。再比如判斷函數(shù)f(x) x2 - 2x的奇偶性。如果不看定義域直接算f(-x) x2 2x既不等于f(x)也不等于-f(x)所以是非奇非偶函數(shù)。但如果定義域限定為[-1, 1]那就要重新判斷。實(shí)際上f(x) x2 - 2x在[-1, 1]上仍然是非奇非偶函數(shù)因?yàn)閒(-1) 3f(1) -1不滿足奇偶性的定義。實(shí)操心得養(yǎng)成“定義域優(yōu)先”的習(xí)慣。拿到任何函數(shù)題先在心里默念一遍“定義域是什么”然后再往下做。這個(gè)習(xí)慣能幫你避開(kāi)至少30%的陷阱。5.2 集合語(yǔ)言在函數(shù)中的體現(xiàn)——用集合的眼光看函數(shù)高中函數(shù)定義的核心是“集合A到集合B的對(duì)應(yīng)”。定義域是集合A值域是集合B的子集。所以函數(shù)問(wèn)題本質(zhì)上就是集合問(wèn)題。比如求函數(shù)的值域其實(shí)就是求“所有函數(shù)值組成的集合”。判斷兩個(gè)函數(shù)是不是同一個(gè)函數(shù)就是判斷“定義域相同且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同”。這些都可以用集合的語(yǔ)言來(lái)描述。再比如函數(shù)的單調(diào)性可以這樣用集合語(yǔ)言描述對(duì)于定義域I上的函數(shù)f(x)如果對(duì)于I的任意兩個(gè)數(shù)x?, x?當(dāng)x? x?時(shí)都有f(x?) f(x?)那么f(x)在I上是增函數(shù)。這里的“任意”兩個(gè)字很關(guān)鍵它意味著不能只驗(yàn)證幾個(gè)特殊的x值必須對(duì)所有x都成立。注意用集合語(yǔ)言描述函數(shù)性質(zhì)時(shí)“任意”和“存在”是兩個(gè)完全不同的量詞。單調(diào)性要求“任意”而函數(shù)有零點(diǎn)只要求“存在”。混淆這兩個(gè)量詞是邏輯錯(cuò)誤的高發(fā)區(qū)。5.3 常見(jiàn)題型與解題套路——從集合到函數(shù)的綜合應(yīng)用集合與函數(shù)的綜合題常見(jiàn)的有以下幾類第一類是“已知函數(shù)定義域求參數(shù)”。比如f(x) √(ax2 bx c)的定義域是R求a, b, c滿足的條件。這本質(zhì)上是一個(gè)集合問(wèn)題不等式ax2 bx c ≥ 0的解集是R。需要分a 0和a ≠ 0兩種情況討論。第二類是“已知函數(shù)值域求參數(shù)”。比如f(x) x2 - 2ax 3在[1, 2]上的值域是[2, 3]求a的值。這需要根據(jù)對(duì)稱軸x a與區(qū)間[1, 2]的位置關(guān)系分三種情況討論a 1、1 ≤ a ≤ 2、a 2。第三類是“集合與函數(shù)的交集問(wèn)題”。比如已知A {x | f(x) 0}B {x | g(x) 0}求A∩B。這需要先分別求出A和B再取交集。這些題型的共同特點(diǎn)是需要分類討論而且分類的標(biāo)準(zhǔn)往往與定義域或?qū)ΨQ軸的位置有關(guān)。分類討論時(shí)要做到“不重不漏”這是高一數(shù)學(xué)的核心能力之一。實(shí)操心得分類討論時(shí)先在草稿紙上畫一個(gè)數(shù)軸把關(guān)鍵點(diǎn)標(biāo)出來(lái)然后一段一段地討論。每討論完一種情況就在數(shù)軸上打個(gè)勾確保沒(méi)有遺漏。6. 常見(jiàn)問(wèn)題與排查技巧實(shí)錄6.1 集合運(yùn)算中的高頻錯(cuò)誤與糾正方法集合運(yùn)算中最常見(jiàn)的錯(cuò)誤有三個(gè)一是忘記檢驗(yàn)互異性二是端點(diǎn)開(kāi)閉搞錯(cuò)三是空集情況遺漏。忘記檢驗(yàn)互異性前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)解決辦法就是“算出參數(shù)后必須代回原集合檢驗(yàn)”。端點(diǎn)開(kāi)閉搞錯(cuò)解決辦法是“畫數(shù)軸用實(shí)心點(diǎn)表示閉空心點(diǎn)表示開(kāi)然后看重疊部分”。空集情況遺漏解決辦法是“看到子集符號(hào)?先想空集”。還有一個(gè)容易被忽視的錯(cuò)誤是“全集變化”。比如題目說(shuō)“已知全集U ZA {x | x 2k, k ∈ Z}求??A”。這里的補(bǔ)集是在整數(shù)集里求所以??A {x | x 2k 1, k ∈ Z}也就是所有奇數(shù)。如果誤以為全集是R就會(huì)寫成{x | x ≠ 2k, k ∈ Z}那就錯(cuò)了。注意做集合題時(shí)先看題目有沒(méi)有指定全集。沒(méi)有指定就默認(rèn)是R指定了就按指定的來(lái)。這個(gè)習(xí)慣能幫你避開(kāi)很多低級(jí)錯(cuò)誤。6.2 函數(shù)定義域與值域的典型陷阱定義域的陷阱主要有兩個(gè)一是“先化簡(jiǎn)再求定義域”二是“分段函數(shù)的定義域取并集”。先化簡(jiǎn)再求定義域是很多學(xué)生的習(xí)慣但這個(gè)習(xí)慣有時(shí)候會(huì)出錯(cuò)。比如f(x) (x2 - 1)/(x - 1)化簡(jiǎn)后是f(x) x 1。如果先化簡(jiǎn)再求定義域會(huì)得到R但原函數(shù)的定義域是x ≠ 1。所以定義域必須從原函數(shù)出發(fā)求不能先化簡(jiǎn)。分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。比如f(x) x 1 (x 0) 和 f(x) x2 (x ≥ 0)定義域是(-∞, 0) ∪ [0, ∞) R。這個(gè)看起來(lái)簡(jiǎn)單但考試中經(jīng)常有學(xué)生把并集寫成交集導(dǎo)致定義域縮小。值域的陷阱主要是“忽略定義域限制”和“選錯(cuò)求值域的方法”。忽略定義域限制前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)選錯(cuò)方法則需要多練。我的建議是先判斷函數(shù)類型再選方法。一次函數(shù)用觀察法二次函數(shù)用配方法分式函數(shù)用分離常數(shù)法或判別式法根式函數(shù)用換元法。實(shí)操心得求值域時(shí)先畫個(gè)草圖看看函數(shù)的大致走勢(shì)再?zèng)Q定用什么方法。草圖不用很精確能看出增減趨勢(shì)就行。6.3 單調(diào)性與奇偶性判斷的易錯(cuò)點(diǎn)單調(diào)性判斷的易錯(cuò)點(diǎn)主要是“單調(diào)區(qū)間不能并”和“定義域優(yōu)先”。單調(diào)區(qū)間不能并前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)。定義域優(yōu)先意思是判斷單調(diào)性之前要先確定定義域在定義域內(nèi)討論。奇偶性判斷的易錯(cuò)點(diǎn)主要是“定義域不對(duì)稱”和“f(0) 0不是奇函數(shù)的充分條件”。定義域不對(duì)稱直接下結(jié)論“非奇非偶”就行。f(0) 0只是奇函數(shù)的必要條件不是充分條件。比如f(x) x2f(0) 0但它是偶函數(shù)不是奇函數(shù)。還有一個(gè)容易混淆的點(diǎn)是“奇函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù)”和“偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù)”。這兩個(gè)結(jié)論是對(duì)的但“奇函數(shù) 偶函數(shù)”的結(jié)果不確定可能是奇函數(shù)、偶函數(shù)或非奇非偶函數(shù)需要具體分析。注意判斷奇偶性時(shí)先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。不對(duì)稱就直接下結(jié)論對(duì)稱再算f(-x)。這個(gè)順序能幫你節(jié)省時(shí)間。6.4 綜合題的拆解思路與檢查清單綜合題往往涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)拆解思路是“先拆后合”先把題目拆成幾個(gè)小問(wèn)題分別解決再合并結(jié)果。比如一道典型的綜合題已知函數(shù)f(x) x2 - 2ax 3在[1, 2]上的最小值為g(a)求g(a)的解析式。這道題可以拆成三個(gè)小問(wèn)題a 1時(shí)最小值是多少1 ≤ a ≤ 2時(shí)最小值是多少a 2時(shí)最小值是多少分別解決后再寫成分段函數(shù)的形式。檢查清單定義域是否考慮分類討論是否完整端點(diǎn)是否檢驗(yàn)結(jié)果是否化簡(jiǎn)分段函數(shù)是否寫全實(shí)操心得做完綜合題后花30秒對(duì)照檢查清單過(guò)一遍。這個(gè)習(xí)慣能幫你把正確率從70%提到90%以上。7. 給不同基礎(chǔ)讀者的學(xué)習(xí)建議7.1 基礎(chǔ)薄弱者的補(bǔ)課路徑如果你現(xiàn)在做集合與函數(shù)的題還經(jīng)常卡殼不要急著刷難題先把基礎(chǔ)打牢。具體路徑是第一步把課本上的定義和例題重新看一遍確保每個(gè)概念都能用自己的話解釋清楚。比如什么是集合的互異性什么是函數(shù)的定義域這些都要能脫口而出。第二步做課本上的練習(xí)題每道題都寫出完整過(guò)程不要跳步。特別是定義域的求解一定要寫出所有限制條件再取交集。第三步整理錯(cuò)題本把做錯(cuò)的題分類整理標(biāo)注錯(cuò)誤原因。是概念不清、計(jì)算失誤還是方法選錯(cuò)針對(duì)不同原因采取不同措施。第四步等基礎(chǔ)題的正確率穩(wěn)定在90%以上再開(kāi)始做中等難度的題。不要一上來(lái)就做壓軸題那樣只會(huì)打擊信心。7.2 中等水平者的提分策略如果你基礎(chǔ)題基本沒(méi)問(wèn)題但遇到綜合題就發(fā)怵那你的提分策略是“專項(xiàng)突破”。先統(tǒng)計(jì)一下自己最近五次考試中集合與函數(shù)部分的失分點(diǎn)在哪里。是定義域求錯(cuò)是值域方法選錯(cuò)還是分類討論遺漏找到薄弱環(huán)節(jié)后集中做20道同類題做完后總結(jié)規(guī)律。比如你發(fā)現(xiàn)自己在“含參數(shù)的二次函數(shù)值域問(wèn)題”上經(jīng)常出錯(cuò)那就專門練這一類題。練的時(shí)候注意總結(jié)對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)、中間、右側(cè)三種情況分別怎么處理端點(diǎn)值怎么算最大值和最小值分別在什么地方取專項(xiàng)突破的關(guān)鍵是“量變引起質(zhì)變”。同一類題做夠20道你自然就能看出套路了。7.3 優(yōu)秀者的拓展方向如果你集合與函數(shù)的基礎(chǔ)題和綜合題都沒(méi)問(wèn)題那你可以往兩個(gè)方向拓展第一個(gè)方向是“提前接觸導(dǎo)數(shù)”。導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性比定義法快得多而且能處理很多定義法處理不了的函數(shù)。比如f(x) x3 - 3x用定義法判斷單調(diào)性很麻煩但用導(dǎo)數(shù)就很簡(jiǎn)單f(x) 3x2 - 3令f(x) 0得x -1或x 1所以增區(qū)間是(-∞, -1)和(1, ∞)。第二個(gè)方向是“接觸抽象函數(shù)”。抽象函數(shù)沒(méi)有具體解析式只給出一些性質(zhì)如f(x y) f(x) f(y)要求判斷單調(diào)性、奇偶性等。這類題能很好地鍛煉邏輯推理能力也是高考?jí)狠S題的?？汀?shí)操心得抽象函數(shù)的處理方法是“賦值法”。先令x y 0求出f(0)再令y -x找出f(x)和f(-x)的關(guān)系最后令x? x?判斷f(x?)和f(x?)的大小關(guān)系。這套流程能解決大部分抽象函數(shù)問(wèn)題。8. 寫在最后的一些個(gè)人體會(huì)帶了這么多屆學(xué)生我發(fā)現(xiàn)集合與函數(shù)這一章有一個(gè)特點(diǎn)它不像后面的三角函數(shù)、數(shù)列那樣有固定的套路它的題目變化多端但萬(wàn)變不離其宗。這個(gè)“宗”就是定義域優(yōu)先、分類討論、數(shù)形結(jié)合這三個(gè)核心思想。定義域優(yōu)先是說(shuō)任何函數(shù)問(wèn)題都要先看x能取哪些值。分類討論是說(shuō)遇到含參數(shù)的問(wèn)題要分情況處理不能一刀切。數(shù)形結(jié)合是說(shuō)能畫圖就畫圖圖像能幫你直觀地理解問(wèn)題。這三個(gè)思想不僅適用于集合與函數(shù)也適用于整個(gè)高中數(shù)學(xué)。如果你在這一章就把這三個(gè)思想練熟了后面的學(xué)習(xí)會(huì)輕松很多。最后分享一個(gè)我自己的小技巧每次做函數(shù)題之前先在草稿紙的左上角寫三個(gè)字——“定義域”。這個(gè)動(dòng)作只需要一秒鐘但能提醒你養(yǎng)成先看定義域的習(xí)慣。我試過(guò)堅(jiān)持一個(gè)月后定義域相關(guān)的錯(cuò)誤率能下降80%以上。你可以試試。