做光子晶體仿真的人這幾年繞不開一個(gè)詞BICBound states in the continuum連續(xù)譜束縛態(tài)。尤其是Merging BIC這個(gè)概念火了之后做激光、超表面、非線性器件的人都在往這個(gè)方向靠。我這次用COMSOL跑了一套光子晶體平板的仿真流程目標(biāo)很清晰通過(guò)結(jié)構(gòu)調(diào)整把普通BIC變成合并BIC同時(shí)把三維能帶、Q因子、遠(yuǎn)場(chǎng)偏振這幾件事一次性算明白。這篇文章就按這套流程的先后順序拆開講模型怎么建、能帶怎么掃、Q怎么算才靠譜、遠(yuǎn)場(chǎng)偏振圖怎么解出來(lái)以及中間踩過(guò)哪些坑全部攤開說(shuō)。適合正在做光子晶體、超表面、拓?fù)涔庾訉W(xué)研究的朋友尤其是有COMSOL基礎(chǔ)但被BIC類計(jì)算折磨過(guò)的人。先說(shuō)清楚這套仿真的物理背景和計(jì)算目標(biāo)再往后談操作才不糊涂。1. 先想明白這幾個(gè)物理圖像1.1 光子晶體和能帶光子晶體說(shuō)白了就是介電常數(shù)周期排布的微納結(jié)構(gòu)。電子在周期勢(shì)場(chǎng)里有能帶光子在周期介電結(jié)構(gòu)里同樣有能帶這個(gè)類比是整類器件的理論基礎(chǔ)。COMSOL算光子晶體能帶本質(zhì)就是在周期邊界條件下解麥克斯韋方程組得到布洛赫波矢k對(duì)應(yīng)的本征頻率ω(k)。跟電子能帶的算法思路幾乎一樣只不過(guò)這里求解的是電磁場(chǎng)而非薛定諤方程。一個(gè)典型的介質(zhì)平板光子晶體會(huì)同時(shí)存在導(dǎo)波模式和輻射模式。導(dǎo)波模式局域在結(jié)構(gòu)內(nèi)部隨著距離指數(shù)衰減輻射模式則與外部自由空間耦合能把能量帶到遠(yuǎn)場(chǎng)。在動(dòng)量空間里光子晶體的結(jié)構(gòu)周期性會(huì)把能帶折疊進(jìn)第一布里淵區(qū)于是本來(lái)在光錐外的導(dǎo)波模式也可能被折疊到光錐以內(nèi)跟連續(xù)的輻射模式共存于同一個(gè)動(dòng)量位置。這種導(dǎo)波與輻射連續(xù)態(tài)在同一個(gè)k, ω區(qū)域里共存的局面就是BIC出現(xiàn)的先決條件。很多人一開始不搞明白這個(gè)上來(lái)就掃能帶看到一條帶就以為是BIC其實(shí)大概率只是普通導(dǎo)波。1.2 BIC到底是什么BIC這個(gè)名詞看起來(lái)很高深物理圖像其實(shí)很直觀。它就是一個(gè)包含在連續(xù)輻射譜內(nèi)部的束縛態(tài)本征模式本身的頻率落在輻射連續(xù)譜范圍內(nèi)理論上卻不向外輻射Q因子趨向無(wú)窮大。聽起來(lái)矛盾但沒有違背物理規(guī)則因?yàn)樗退休椛渫ǖ乐g的耦合恰好被干涉相消了。光子晶體平板里最常見的BIC是Γ點(diǎn)處的對(duì)稱性保護(hù)BIC。在Γ點(diǎn)模式具有反演對(duì)稱性而外部輻射場(chǎng)具有另一種對(duì)稱性兩者對(duì)稱性不匹配輻射通道就被強(qiáng)制關(guān)閉。另一類叫偶然BICaccidental BIC出現(xiàn)在k不等于零的位置靠參數(shù)調(diào)諧讓兩個(gè)輻射通道的泄漏相互抵消。這兩種BIC的本質(zhì)都是遠(yuǎn)場(chǎng)輻射通道的耦合為零但在動(dòng)量空間里的位置和魯棒性差別很大。有一個(gè)容易混淆的點(diǎn)BIC不是缺陷態(tài)不是某個(gè)局部結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的局域態(tài)而是整個(gè)周期性結(jié)構(gòu)的延伸態(tài)它的能量完全局限于平板內(nèi)部但模式在空間上依然是布洛赫波擴(kuò)展的。這一點(diǎn)在做COMSOL仿真時(shí)很重要因?yàn)檫吔鐥l件、網(wǎng)格尺寸、PML處理稍有不對(duì)BIC就會(huì)被數(shù)值噪聲“打開”輻射通道Q因子變成有限值看起來(lái)就像個(gè)高Q共振而不是真正的BIC。1.3 Merging BIC的價(jià)值單個(gè)BIC在理論上是完美的但實(shí)際加工出來(lái)的結(jié)構(gòu)總有尺寸誤差、側(cè)壁傾斜、材料吸收。一旦結(jié)構(gòu)對(duì)稱性被破壞對(duì)稱性保護(hù)BIC立刻就變成有限Q模式。這導(dǎo)致BIC在實(shí)際器件中非常脆弱。Merging BIC的思路就是通過(guò)調(diào)節(jié)幾何參數(shù)把動(dòng)量空間不同位置的全新BIC某種意義上是“可移動(dòng)”的BIC移動(dòng)到同一位置合并成一個(gè)增強(qiáng)了拓?fù)涮匦缘腂IC。為什么合并以后的BIC更魯棒文獻(xiàn)里通常解釋為合并后的BIC在動(dòng)量空間里對(duì)應(yīng)一個(gè)更高階的偏振渦旋結(jié)構(gòu)微擾對(duì)它的影響是二次冪關(guān)系而普通BIC是一次冪關(guān)系。反應(yīng)在宏觀結(jié)果上就是你制造誤差變大Q因子依然能維持在十萬(wàn)量級(jí)甚至更高。因此Merging BIC在單模激光、高靈敏傳感、窄帶濾波方面特別有價(jià)值。2. 在COMSOL里搭一個(gè)可信的光子晶體平板模型2.1 幾何參數(shù)與材料設(shè)定實(shí)際建模時(shí)我采用一個(gè)典型的介質(zhì)柱光子晶體平板硅柱陣列放在一個(gè)薄的介質(zhì)平板上或者直接在硅平板上刻空氣孔兩者都可以仿真設(shè)置幾乎相同。下面以一個(gè)通用結(jié)構(gòu)為例晶格常數(shù)a 800 nm背景平板是硅折射率n 3.48平板厚度h 500 nm圓柱半徑r從200 nm到280 nm范圍做參數(shù)掃描。幾何建模盡量用參數(shù)驅(qū)動(dòng)不要直接在幾何里填死數(shù)字。因?yàn)楹竺孀鯩erging BIC調(diào)控必然要掃描某個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)比如半徑、孔偏移量、橢圓率。把所有尺寸都設(shè)成全局參數(shù)掃參數(shù)時(shí)只需改一個(gè)變量模型重建自動(dòng)完成。我習(xí)慣在參數(shù)表里一次性定義a晶格常數(shù)、r柱半徑、h厚度、gPML與結(jié)構(gòu)距離等并且用r/a這種無(wú)量綱組合做掃描這樣換材料換波段時(shí)所有幾何自動(dòng)縮放不用重做模型。材料參數(shù)要特別注意色散問題。對(duì)半導(dǎo)體材料仿真波段較窄時(shí)可以忽略色散固定折射率即可。如果要做可見光到近紅外的寬譜能帶建議加入材料色散數(shù)據(jù)否則二維能帶和Q因子趨勢(shì)都會(huì)失真。常見做法是在組件內(nèi)定義材料函數(shù)允許分段插值。這里還有一個(gè)重要經(jīng)驗(yàn)算BIC相關(guān)問題材料損耗先設(shè)為0或很小的值。如果一開始就加入材料吸收特征頻率虛部會(huì)被材料吸收主導(dǎo)輻射通道貢獻(xiàn)的信號(hào)完全被淹沒Q因子分析根本沒法做。分開兩步走先做無(wú)耗仿真看清輻射Q再單獨(dú)估計(jì)材料Q對(duì)總Q的影響。2.2 Floquet周期邊界與開放條件單元胞的四條側(cè)邊設(shè)置Floquet周期性邊界條件在COMSOL里叫Periodic Condition或者Floquet Periodicity并給定布洛赫波矢k (kx, ky)。這里有個(gè)細(xì)節(jié)Floquet邊界要求兩個(gè)相對(duì)邊界上的場(chǎng)滿足相位關(guān)系也就是u_dst u_src * exp(i * k · r)。其中k的取值直接決定你算的是哪個(gè)布洛赫模式。很多新手在這里犯的典型錯(cuò)誤是把周期性邊界條件設(shè)為零相位即kx0、ky0以為這就是Γ點(diǎn)。實(shí)際上設(shè)置波矢分量時(shí)需要在周期邊界條件屬性里填寫kx和ky的具體表達(dá)式。我直接把kx和ky定義為全局參數(shù)在掃描研究特征頻率時(shí)用“輔助掃描”掃這兩個(gè)參數(shù)每掃一組(kx, ky)就能得到一個(gè)本征頻率列表。光子晶體平板是開放結(jié)構(gòu)上下表面不能設(shè)成完美電導(dǎo)體或完美磁導(dǎo)體否則輻射通道被人工關(guān)閉算出來(lái)的模式全是“偽BIC”。正確做法是上下邊界用散射邊界條件或完美匹配層。做Q因子提取時(shí)強(qiáng)烈建議用PML而不是簡(jiǎn)單的散射邊界條件。本質(zhì)上只有PML才能可靠地吸收輻射場(chǎng)從而在復(fù)數(shù)頻率中準(zhǔn)確提取出輻射損耗虛部。PML的設(shè)置也講究厚度至少要覆蓋一個(gè)波長(zhǎng)與結(jié)構(gòu)表面留空約半個(gè)波長(zhǎng)的間隙PML內(nèi)部網(wǎng)格要各向異性拉伸。COMSOL自帶PML坐標(biāo)縮放參數(shù)通常依賴內(nèi)置設(shè)置就行但間隙層和厚度這兩個(gè)值別省。我默認(rèn)取h_gap 0.5 * λ0h_pml 1.5 * λ0精度和計(jì)算量都比較平衡。2.3 網(wǎng)格剖分決定仿真實(shí)力的地方對(duì)于三維光子晶體計(jì)算網(wǎng)格往往是大坑。BIC類模式對(duì)網(wǎng)格非常敏感因?yàn)槟阈枰_解析場(chǎng)分布在周期性單元內(nèi)的細(xì)節(jié)特別是結(jié)構(gòu)邊緣附近的電場(chǎng)增強(qiáng)區(qū)域。我用的是物理場(chǎng)控制網(wǎng)格基礎(chǔ)上手動(dòng)加密結(jié)構(gòu)內(nèi)部與平板區(qū)域的網(wǎng)格最大尺寸設(shè)定為a/8結(jié)構(gòu)銳利邊角處用角部細(xì)化PML區(qū)域用映射網(wǎng)格拉伸。計(jì)算Q因子時(shí)網(wǎng)格不足的直接表現(xiàn)是本應(yīng)趨于無(wú)限的Q因子算出來(lái)卻只有幾百、幾千而且隨著網(wǎng)格細(xì)化還會(huì)系統(tǒng)性地緩慢上升。這是典型的未收斂癥狀。碰到這種情況先固定其它所有條件把網(wǎng)格尺寸從a/16、a/20、a/24各自算一遍看Q值變化趨勢(shì)。如果Q與網(wǎng)格尺寸基本無(wú)關(guān)說(shuō)明結(jié)果收斂了如果Q一直在漲你的結(jié)果不能直接引用。經(jīng)驗(yàn)值上三維全波仿真中BIC附近模式的網(wǎng)格密度通常是普通能帶模式的2~4倍。一個(gè)900 nm尺度晶胞網(wǎng)格數(shù)量大概在幾十萬(wàn)自由度的規(guī)模單次特征頻率求解一兩分鐘能完成。這也是為什么后續(xù)做全布里淵區(qū)掃描時(shí)計(jì)算量會(huì)非常巨大所以網(wǎng)格質(zhì)量和掃描步長(zhǎng)之間要做一個(gè)妥協(xié)。3. 三維能帶掃描從一條線到一張面3.1 高對(duì)稱路徑掃描一維能帶先不要直接上二維掃描。我的習(xí)慣是先沿布里淵區(qū)高對(duì)稱路徑做一維能帶掃描把所有模式的行為摸清楚再開展全布里淵區(qū)的二維掃描。高對(duì)稱路徑在正方晶格中是Γ(0,0) – X(0,π/a) – M(π/a,π/a) – Γ(0,0)。這個(gè)路徑上的模式身份比較清晰可以快速確認(rèn)目標(biāo)頻率附近有哪些導(dǎo)波帶、有哪些交叉點(diǎn)、有幾個(gè)BIC。操作方式研究步驟添加特征頻率把Floquet邊界中的kx、ky用路徑公式參數(shù)化。比如從Γ到X令kx π/a * sky 0s從0到1掃描。這里的s用輔助掃描的索引參數(shù)步長(zhǎng)取20~30步就夠看到趨勢(shì)。關(guān)鍵點(diǎn)是一維能帶掃描時(shí)要把“特征頻率搜索區(qū)域”設(shè)置得窄一點(diǎn)。如果求解器搜索范圍太寬比如從0到幾個(gè)THz它會(huì)返回一大堆高次模式雜模非常多無(wú)法區(qū)分哪些是物理模式哪些是數(shù)值模式。我通常先把目標(biāo)頻段估計(jì)好用帶結(jié)構(gòu)的平均折射率公式估算再設(shè)置搜索中心在目標(biāo)頻率附近頻率跨度設(shè)為帶寬的1~2倍。一維能帶圖出來(lái)后判斷BIC的線索有三個(gè)模式在Γ點(diǎn)出現(xiàn)退化能帶與連續(xù)輻射態(tài)的色散交叉模式的本征場(chǎng)在平板內(nèi)部高度局域外部場(chǎng)幾乎沒有泄漏。通常配合Q因子計(jì)算一起看。3.2 全布里淵區(qū)掃描與三維能帶面一維能帶確認(rèn)物理圖像后再做二維掃描得到的就是三維能帶面ω ω(kx, ky)。標(biāo)題里的“三維能帶研究”說(shuō)的就是這個(gè)——不是三維實(shí)空間模型模型本來(lái)就是三維的而是把動(dòng)量空間兩個(gè)維度都展開看頻率面在(kx, ky)空間中的分布。COMSOL的輔助掃描支持嵌套循環(huán)把kx定義成-pi/a到pi/aky同樣定義成-pi/a到pi/a步長(zhǎng)建議取20×20到30×30。注意這里的掃描步長(zhǎng)直接決定了能帶面的分辨率。Merging BIC分析中兩個(gè)BIC在臨界參數(shù)附近會(huì)靠得很近分辨率不夠就看不出合并過(guò)程。基礎(chǔ)篩選用25×25就夠參數(shù)精調(diào)階段再用40×40。這種掃描的計(jì)算量非常大。25×25就是625個(gè)特征頻率求解每個(gè)求解又有好幾十個(gè)本征?？傮w規(guī)模和一次中等的三維電磁場(chǎng)參數(shù)掃描相當(dāng)單機(jī)要算幾小時(shí)到十幾個(gè)小時(shí)。建議先把幾何網(wǎng)格適當(dāng)放寬到a/12得到一個(gè)粗結(jié)果鎖定模式行為后再在關(guān)注的動(dòng)量區(qū)域局部加密掃描。這個(gè)局部掃動(dòng)量空間的技巧特別省時(shí)間尤其在參數(shù)臨界點(diǎn)附近追蹤BIC位置時(shí)。算完后把所有本征頻率按(kx, ky)順序?qū)С鲈谕獠磕_本里重新排成二維頻率矩陣。COMSOL自帶的繪圖也可以直接畫三維曲面但數(shù)據(jù)量太大時(shí)交互會(huì)卡。我通常把數(shù)據(jù)導(dǎo)出為表格后交給數(shù)據(jù)處理腳本繪制ω(kx,ky)曲面和等頻率圖等頻率圖在判斷能帶分離、連續(xù)譜交叉時(shí)更直觀。3.3 模態(tài)追蹤防止模式跳變這是整個(gè)流程中最容易出冷汗的環(huán)節(jié)。特征頻率求解器在每個(gè)k點(diǎn)返回多個(gè)特征值順序是按頻率大小排的所以模式會(huì)“跳線”——同一支物理模式在不同k點(diǎn)可能是第5個(gè)、第6個(gè)、第7個(gè)特征值直接按索引畫能帶會(huì)得到一堆斷線和跳躍。這個(gè)問題在Merging BIC研究中尤其致命因?yàn)锽IC往往處在能帶交叉點(diǎn)附近模式高度簡(jiǎn)并。解決思路有幾個(gè)層面。第一在同一條能帶曲線上做掃描時(shí)用“前一個(gè)k點(diǎn)的解作為當(dāng)前k點(diǎn)的初始值”。COMSOL特征頻率求解器允許啟用“使用上一個(gè)解”作為初始猜測(cè)這樣能大大提高模態(tài)追蹤成功率。第二提取每個(gè)特征值的參與因子和電場(chǎng)能量占比數(shù)值假模參與因子明顯偏低可以直接剔除。第三個(gè)方法凡是平面上有交叉危險(xiǎn)的地方用更小的k步長(zhǎng)加密手動(dòng)分辨模式軌跡。我踩過(guò)一次很深的坑二維掃描結(jié)果看起來(lái)能帶圖非常漂亮但Merging BIC的“合并”現(xiàn)象始終不明顯。排查才發(fā)現(xiàn)模式追蹤在某個(gè)參數(shù)突變點(diǎn)上發(fā)生了跳線我追蹤的是一支殘余的普通導(dǎo)波不是BIC。從那以后我所有參數(shù)篩選都先跑一維路徑驗(yàn)證再跑二維。4. Q因子計(jì)算的完整鏈路4.1 為什么用復(fù)數(shù)特征頻率Q因子的定義是諧振腔存儲(chǔ)能量與每個(gè)周期損耗能量的比值數(shù)學(xué)上可以寫成ω0/Δω。在COMSOL的特征頻率研究里求解器直接給出復(fù)數(shù)的本征頻率實(shí)部就是共振頻率虛部代表?yè)p耗率。對(duì)無(wú)源無(wú)增益系統(tǒng)虛部為負(fù)值Q因子公式是Q Re(ω) / (2 * |Im(ω)|)沒有PML的問題在于開放式結(jié)構(gòu)的輻射損耗沒有物理機(jī)制被吸收求解器把表面看作反射邊界虛部被嚴(yán)重低估Q因子虛高。所以前面才強(qiáng)調(diào)PML不是可選項(xiàng)而是計(jì)算Q因子的必需項(xiàng)。PML把輻射波吸收掉等效于開放空間虛部才包含真實(shí)的輻射損耗。對(duì)比一下常見的寬頻法S參數(shù)掃描再Fano擬合和特征頻率法寬頻法需要先掃頻響再用三參數(shù)或五參數(shù)Fano公式擬合出線寬步驟多、擬合質(zhì)量對(duì)初始值敏感特征頻率法一次求解直接得到復(fù)數(shù)頻率信息量更大特別是可以同時(shí)拿到本征模場(chǎng)分布。表格對(duì)比如下方法步驟復(fù)雜度對(duì)網(wǎng)格敏感度能否直接看場(chǎng)分布適用場(chǎng)景特征頻率復(fù)數(shù)頻率法低高能BIC模式識(shí)別、Q因子追蹤寬頻掃描Fano擬合高中需另算獲取實(shí)際透射/反射譜時(shí)本征模能量方法中中能多模同時(shí)分析實(shí)際項(xiàng)目里兩種方法經(jīng)常配合先用特征頻率法鎖定目標(biāo)模式和Q因子再用寬頻掃描驗(yàn)證透射譜里對(duì)應(yīng)的共振線寬。4.2 計(jì)算環(huán)節(jié)的細(xì)節(jié)PML設(shè)置好之后固定k點(diǎn)運(yùn)行特征頻率研究。求解器設(shè)置有幾個(gè)關(guān)鍵參數(shù)要手動(dòng)調(diào)整特征頻率數(shù)不要貪多默認(rèn)會(huì)求6~10個(gè)。BIC通常落在目標(biāo)頻段特征頻率數(shù)量設(shè)置成10~14比較保險(xiǎn)太多反而浪費(fèi)求解時(shí)間。搜索中心頻率填目標(biāo)共振頻率附近的預(yù)估值CTRL鍵逐個(gè)嘗試直到目標(biāo)模式出現(xiàn)。這樣解析出來(lái)的模式是最接近物理真實(shí)的弱輻射本征模。相對(duì)容差默認(rèn)1e-6在小虛部BIC模式上不夠用改成1e-8或更嚴(yán)格尤其當(dāng)Im(ω)比Re(ω)小四五個(gè)量級(jí)時(shí)。特征頻率的研究擴(kuò)展項(xiàng)啟用“計(jì)算參與因子”協(xié)助甄別假模。求解完成后在派生值里提取實(shí)部頻率f_real和虛部頻率f_imagQ f_real / (2 * abs(f_imag))。這個(gè)計(jì)算可以直接做一個(gè)全局表達(dá)式這樣在參數(shù)掃描結(jié)果里每個(gè)參數(shù)組合都能自動(dòng)算出Q。我習(xí)慣在結(jié)果里同時(shí)輸出f_real、f_imag和Q三列方便后續(xù)判斷模式是否進(jìn)入BIC狀態(tài)虛部趨于零、Q趨于大值。4.3 BIC的Q因子要收斂不要迷信BIC理論上Q是無(wú)窮大的但COMSOL里你永遠(yuǎn)不會(huì)得到無(wú)窮大。原因很簡(jiǎn)單網(wǎng)格把連續(xù)空間離散化了輻射通道無(wú)法精確關(guān)閉PML的吸收也不是理想吸收求解器迭代收斂的數(shù)值噪聲也會(huì)貢獻(xiàn)到虛部。于是你看到的BIC模式的Q往往是幾萬(wàn)、幾十萬(wàn)甚至更高但不會(huì)嚴(yán)格是無(wú)窮大。碰到這種“高但不無(wú)窮”的結(jié)果要做收斂性分析不能說(shuō)看到一個(gè)大Q就宣布找到了BIC。方法是固定k點(diǎn)將網(wǎng)格最大尺寸從a/12細(xì)化到a/24看Q值變化。如果Q隨加密幾乎不變說(shuō)明數(shù)值誤差已經(jīng)足夠小可以認(rèn)為該模式在物理上是BIC。通常我們以Q大于1e6且隨網(wǎng)格加密升高不超過(guò)10%作為一個(gè)工程判定標(biāo)準(zhǔn)。還必須把輻射Q和材料吸收Q分開。如果材料折射率有虛部吸收那么總Q是輻射Q和材料Q的并聯(lián)關(guān)系1/Q_total 1/Q_rad 1/Q_abs。在實(shí)際仿真里加入材料損耗后虛部幾乎全被材料吸收主導(dǎo)你看到的總Q會(huì)遠(yuǎn)小于純輻射Q。這也是為什么我前面強(qiáng)調(diào)正式研究中要把材料損耗單獨(dú)處理后合并分析。5. 調(diào)控Merging BIC與遠(yuǎn)場(chǎng)偏振驗(yàn)證5.1 結(jié)構(gòu)調(diào)整讓兩個(gè)BIC走向合并Merging BIC的物理實(shí)現(xiàn)本質(zhì)是通過(guò)改變某個(gè)幾何參數(shù)讓動(dòng)量空間中的多個(gè)基態(tài)BIC位置發(fā)生移動(dòng)最終在臨界參數(shù)處匯聚。比較常見的方案是改變介質(zhì)柱半徑、高度、橢圓度或橫向偏移量把原本不在Γ點(diǎn)的偶然BIC推向Γ點(diǎn)跟對(duì)稱性保護(hù)BIC合并。我以改變圓柱半徑r為例固定a和h把r從200 nm到280 nm逐次掃描。每個(gè)r值都做二維能帶掃描記錄非Γ點(diǎn)BIC在(kx, ky)空間里的位置。典型的行為是r較小時(shí)兩個(gè)在kx軸上或?qū)蔷€方向?qū)ΨQ分布的BIC離Γ點(diǎn)較遠(yuǎn)隨著r增大兩個(gè)BIC逐漸向?？繑n在某個(gè)臨界半徑rc處兩個(gè)BIC移到Γ點(diǎn)并與原本的對(duì)稱性保護(hù)BIC合并這時(shí)候Γ點(diǎn)附近的能帶色散關(guān)系會(huì)發(fā)生明顯變化頻率面變得平坦同時(shí)Q因子出現(xiàn)一個(gè)極大尖峰。這里最花時(shí)間的是定位兩組BIC的準(zhǔn)確位置。我通常用粗掃描看清楚大致坐標(biāo)再用局部加密掃描精確定位。如果你觀察到BIC位置隨參數(shù)單調(diào)變化說(shuō)明追蹤方向是對(duì)的。如果有突然的跳變先回一維能帶圖檢查是否出現(xiàn)了模式身份交換。這種身份交換在結(jié)構(gòu)參數(shù)掃描中極其常見是Merging BIC模擬做得懷疑人生的主要來(lái)源之一。5.2 遠(yuǎn)場(chǎng)偏振渦旋BIC的“身份證”怎么確認(rèn)你看到的BIC真的是BIC而不是一個(gè)帶邊上恰好漏到外面的模式最可靠的方法之一是看遠(yuǎn)場(chǎng)偏振分布。BIC在動(dòng)量空間的遠(yuǎn)場(chǎng)偏振分布會(huì)形成一個(gè)渦旋vortex渦旋中心對(duì)應(yīng)BIC位置它周圍的偏振方向繞中心旋轉(zhuǎn)一圈累計(jì)旋轉(zhuǎn)角度等于2π的整數(shù)倍這個(gè)整數(shù)就是拓?fù)浜?。?shí)際操作中我通常用兩種方式在COMSOL里展開遠(yuǎn)場(chǎng)偏振分析。第一種是用COMSOL自帶的遠(yuǎn)場(chǎng)計(jì)算在模型外緣設(shè)置遠(yuǎn)場(chǎng)域然后計(jì)算本征模在該域的場(chǎng)值輸出隨角度變化的遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖和偏振分量。第二種更靈活的是把本征模在單元胞上表面的電場(chǎng)分布導(dǎo)出在外部腳本里做二維傅里葉變換從而得到平面波展開系數(shù)。每個(gè)平面波分量對(duì)應(yīng)一個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)輻射方向其矢量的兩個(gè)分量Ex、Ey就構(gòu)成該方向的線偏振或橢圓偏振態(tài)。在(kx, ky)平面里掃一片區(qū)域把每個(gè)k點(diǎn)的遠(yuǎn)場(chǎng)偏振方向用短線箭頭畫出來(lái)你就得到一張“偏振地圖”。普通輻射態(tài)的偏振箭頭方向是均勻的或緩慢變化的而BIC附近的偏振箭頭會(huì)繞著一個(gè)中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)清晰的偏振渦旋。這個(gè)渦旋中心就是BIC所在的動(dòng)量位置。順便提一句拓?fù)浜梢话闳　?合并后的BIC可以呈現(xiàn)更高階的拓?fù)浜伤赃h(yuǎn)場(chǎng)偏振圖還能定量告訴你合并的完成度。5.3 合并判定與參數(shù)臨界點(diǎn)判定Merging BIC是否成功的標(biāo)準(zhǔn)通?？慈c(diǎn)第一二維能帶面上Γ點(diǎn)附近的頻率面是否在臨界參數(shù)處出現(xiàn)上下分離或凹槽形成孤立點(diǎn)這不是開口率很大的能帶而是模式頻率與連續(xù)譜交叉點(diǎn)處的行為突變。第二Q因子在臨界參數(shù)處出現(xiàn)尖峰偏離臨界值后Q迅速下降到百級(jí)或千級(jí)這個(gè)峰越尖說(shuō)明合并越干凈。第三遠(yuǎn)場(chǎng)偏振圖上原本分開的渦旋在臨界參數(shù)處合并在同一個(gè)中心拓?fù)浜勺兂莎B加值。三個(gè)判據(jù)里至少滿足前兩條才能下“Merging BIC實(shí)現(xiàn)”的結(jié)論。我實(shí)際做下來(lái)最穩(wěn)定的是Q因子判據(jù)因?yàn)槟軒Ы徊纥c(diǎn)附近的模式本來(lái)就難追蹤偏振渦旋的數(shù)值噪聲也偏大而Q因子的局部極大值非常明顯不容易誤判。當(dāng)然這只是作為工程判定物理上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)論還是要以磁場(chǎng)分布、偏振拓?fù)錇橹?。為了?zhǔn)確鎖定臨界半徑rc我在rc附近用極細(xì)的步長(zhǎng)做局部掃描比如r從240 nm到255 nm步長(zhǎng)0.5 nm。這個(gè)量級(jí)的掃描會(huì)讓總計(jì)算時(shí)間成倍上升但整個(gè)過(guò)程是值得的因?yàn)镸erging BIC的臨界行為常常只出現(xiàn)在非常窄的參數(shù)窗內(nèi)。掃得太粗很容易直接把臨界點(diǎn)跳過(guò)去。6. 踩坑實(shí)錄常見問題速查6.1 特征頻率假模泛濫做周期結(jié)構(gòu)計(jì)算時(shí)特征頻率求解器經(jīng)常會(huì)返回一堆能量集中在PML區(qū)域或結(jié)構(gòu)內(nèi)部奇異點(diǎn)上的假模。判據(jù)很簡(jiǎn)單查看參與因子物理模式的參與因子通常接近1假模偏低同時(shí)看電場(chǎng)能量分布假模往往大量集中在網(wǎng)格奇異處或邊界附近。處理方法加參與因子篩選把搜索頻段限制在目標(biāo)頻率附近檢查邊界條件是否設(shè)置成周期性。還有一招很有效建模時(shí)把PML區(qū)域材料損耗單獨(dú)設(shè)一個(gè)微小的值假模在PML里的損耗特別大虛部會(huì)明顯偏高一眼能區(qū)分開。6.2 Q因子虛部為負(fù)或者忽正忽負(fù)特征頻率模式虛部為負(fù)表示損耗為正表示增益但數(shù)值噪聲會(huì)讓本應(yīng)為負(fù)的虛部在某些模式下翻成正號(hào)尤其在BIC模式虛部極小、只有1e-7量級(jí)甚至更低的時(shí)候。這種時(shí)候Q值會(huì)從正無(wú)窮跳到負(fù)無(wú)窮數(shù)據(jù)完全沒法用。解決辦法是回到收斂性分析加密網(wǎng)格并提高求解器容差。如果加密之后虛部的正負(fù)號(hào)依然不穩(wěn)定說(shuō)明這個(gè)位置其實(shí)沒有嚴(yán)格意義上的BIC只是一個(gè)高Q準(zhǔn)BIC模式。這種情況下就不要強(qiáng)行提取Q了改報(bào)“Q 某個(gè)閾值”更誠(chéng)實(shí)。我在一篇數(shù)據(jù)分析里Γ點(diǎn)附近的虛部在不同網(wǎng)格尺寸下從1e-8變化到1e-6我最終報(bào)告的是“Q因子下限為1e6”而不是寫一個(gè)具體數(shù)字。6.3 遠(yuǎn)場(chǎng)偏振圖噪聲大遠(yuǎn)場(chǎng)偏振分析遇到的最大問題是取樣窗口不夠?qū)捇騥空間步長(zhǎng)過(guò)粗導(dǎo)致傅里葉變換的旁瓣滲入偏振箭頭方向顯得雜亂。這時(shí)把導(dǎo)出場(chǎng)分布的范圍擴(kuò)大兩個(gè)單元胞并對(duì)窗函數(shù)做窗化處理旁瓣會(huì)顯著減弱。另外偏振圖的分辨率取決于你掃描的k點(diǎn)密度要分辨渦旋中心區(qū)域至少要在中心周圍掃描15×15個(gè)k點(diǎn)以上否則拓?fù)浜膳凶x不準(zhǔn)。還有一個(gè)容易忽略的點(diǎn)遠(yuǎn)場(chǎng)偏振圖的渦旋中心可能在兩個(gè)k網(wǎng)格點(diǎn)之間而不是恰好在求解點(diǎn)上。這時(shí)需要用插值或局部加密掃描找到準(zhǔn)確的渦旋中心否則你提取的拓?fù)浜煽赡懿煌暾??；仡^看這套流程從物理圖像、建模、能帶掃描、Q因子到遠(yuǎn)場(chǎng)偏振每一環(huán)都是相互嵌套的。單純把COMSOL模型跑通不算什么難的是在計(jì)算噪聲里判斷哪些結(jié)果是物理的哪些只是數(shù)值偽影。我自己的體會(huì)是做Merging BIC這類題目至少60%的時(shí)間要花在驗(yàn)證計(jì)算的收斂性和模態(tài)追蹤上真正建模求解的時(shí)間反而只占一小部分。另外參數(shù)化設(shè)計(jì)不只是為了調(diào)出一個(gè)好看的結(jié)果更是為了理解整個(gè)系統(tǒng)如何響應(yīng)結(jié)構(gòu)變化——這一點(diǎn)對(duì)后續(xù)做實(shí)驗(yàn)和器件優(yōu)化比一個(gè)臨界參數(shù)值有用得多。希望這份實(shí)操記錄能幫你繞開我踩過(guò)的坑。